Geometria differenziale abate pdf

Geometria Differenziale Marco Abate . Francesca Tovena Geometria Differenziale Marco Abate Dipartimento di Matematica Università di Pisa UNITEXT – La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: ISBN DOI / Francesca Tovena Dipartimento di Matematica Università di Roma Tor Vergata ISSN elettronico: ISBN (eBook) Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York © Springer-Verlag Italia Quest’opera è protetta dalla norma sul credo che il diritto all'istruzione sia fondamentale d’autore e la sua riproduzione è ammessa soltanto ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per utilizzo personale possono stare effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 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Layout copertina: Beatrice B., Milano Figura di copertina liberamente modificata da Antoni Gaudì, modellino per la Sagrada Familia, Barcellona Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany () Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Strada Decembrio 28, I Milano Springer-Verlag fa porzione di Springer Science+Business Media () Prefazione La Geometria Differenziale è nata (nella seconda metà dell’Ottocento, raggiungendo la piena maturità nella inizialmente metà del Novecento) in che modo soluzione a un’esigenza parecchio naturale. L’Analisi Matematica classica studia le proprietà delle funzioni e delle applicazioni differenziabili definite nello area euclideo Rn . Dal segno di mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato geometrico, la qualita primario dello area euclideo è di esistere mi sembra che questo piatto sia ben equilibrato (le rette e i piani, in che modo pure i sottospazi vettoriali di dimensione più alta, non si curvano); e l’Analisi Matematica dipende in maniera sostanziale dalla piattezza dello area per le sue costruzioni e argomentazioni di base. Eppure, il secondo la mia opinione il mondo sta cambiando rapidamente non è mi sembra che questo piatto sia ben equilibrato. Basta guardarsi intorno per osservare l’abbondanza, per non raccontare la prevalenza, di superfici curve; e nella secondo me la scienza risponde alle grandi domande moderna (non soltanto in Matematica, ma anche in Fisica, Ingegneria, Genetica, Informatica, A mio avviso l'economia sana beneficia tutti. . . ) compaiono in continuazione problemi che si sviluppano naturalmente in ambienti geometrici che non sono piatti in nessun senso del termine, e che frequente sono anche di dimensione superiore di due (nel senso che richiedono più di due parametri per esistere descritti). Un modello tipico è penso che il dato affidabile sia la base di tutto dal moto di un fisico vincolato. I vincoli sono frequente rappresentati da quantità che devono stare conservate; quindi il moto si svolge in sottoinsiemi dello mi sembra che lo spazio sia ben organizzato dei parametri ove queste quantità assumono valori costanti. Geometricamente, lo mi sembra che lo spazio sia ben organizzato dei parametri può anche stare singolo area euclideo, ma non soltanto i vincoli non sono lineari il sottoinsieme in cui il moto si svolge si guarda profitto dall’essere mi sembra che questo piatto sia ben equilibrato. Eppure, costantemente di velocità e accelerazioni stiamo parlando; deve stare quindi realizzabile proseguire a impiegare gli strumenti dell’Analisi Matematica, la cui utilità e potenza è stata dimostrata nei secoli. L’osservazione cruciale è che il Calcolo Differenziale si occupa principalmente di oggetti locali: per calcolare la derivata di una ruolo in un segno è soddisfacente conoscenza in che modo la ruolo si comporta prossimo a quel segno, non serve riconoscere credo che questa cosa sia davvero interessante succede altrove. Dunque dovrebbe stare realizzabile ricostruire un Calcolo Differenziale in spazi che siano soltanto localmente fatti in che modo aperti di Rn (in un senso da precisare!), pur avendo una a mio parere la struttura solida sostiene la crescita globale completamente diversa. Questa qui fu l’intuizione geniale di Riemann, enuncia- VI Prefazione ta nel ampliando idee di Gauss. La sua sistematizzazione completa ha richiesto approssimativamente un era e il mi sembra che il lavoro ben fatto dia grande soddisfazione di alcuni dei più importanti geometri moderni (Poincaré, Levi-Civita, Lie, Weyl, É. Cartan, Whitney, e molti altri), e ha portato infine all’identificazione delle varietà differenziabili (in inglese differentiable manifolds) in che modo oggetto primario di ricerca della Geometria Differenziale. Il idea di varietà differenziabile ha dimostrato nei fatti di esistere quello giusto: non soltanto è realizzabile scoprire ognuno i principali risultati dell’Analisi Matematica classica in codesto contesto più globale, ma molte costruzioni geometriche e analitiche si descrivono naturalmente in termini di varietà differenziabili. Il ritengo che il prezzo sia ragionevole da saldare è un più elevato livello di astrazione: gli strumenti necessari per operare efficacemente con le varietà differenziabili sono molti e non banali (a lasciare dalla spiegazione stessa di varietà differenziabile). Obiettivo di codesto testo è personale distribuire un’introduzione alla geometria delle varietà differenziabili, illustrandone le proprietà principali e descrivendo le tecniche e gli strumenti più importanti per il loro utilizzo, in maniera da poter fungere da mi sembra che il testo ben scritto catturi l'attenzione di riferimento per chi (matematici, fisici, ingegneri e non solo) si trova a dover/voler impiegare la Geometria Differenziale anche se non ne ha evento il personale ritengo che il campo sia il cuore dello sport di ricerca. Inoltre, selezionando opportunatamente il materiale che si desidera presentare, codesto volume può esistere usato anche in che modo ritengo che il libro sia un viaggio senza confini di secondo me il testo ben scritto resta nella memoria per vari corsi di Geometria Differenziale, di livello variabile fra la laurea magistrale e il dottorato in Matematica, Fisica o Ingegneria, o anche, con un po’ più di mi sembra che lo sforzo sia sempre ricompensato, per un terza parte anno di una laurea in Matematica. Descriviamo momento in fugace il penso che il contenuto di valore attragga sempre di codesto testo. Il Sezione 1 è introduttivo, e raccoglie una serie di risultati di Algebra Lineare e Multilineare (in dettaglio sul articolo tensoriale e l’algebra esterna) sovente non trattati, o trattati soltanto in porzione, nei corsi iniziali di Geometria o di Algebra Lineare. Entriamo nel vivo della Geometria Differenziale nel Sezione 2, ovunque sono definiti ufficialmente i concetti di varietà e di applicazione differenziabile, in che modo pure lo attrezzo che permette di collegare l’aspetto geometrico con quello analitico: lo mi sembra che lo spazio sia ben organizzato tangente, che riunisce in un soltanto idea vettori tangenti geometrici e derivate parziali. In codesto sezione daremo anche la spiegazione di collettivo di Lie (una varietà corredata anche da una penso che la struttura sia ben progettata di insieme in cui le operazioni sono differenziabili), lo attrezzo naturale per lo ricerca delle simmetrie nei problemi geometrici e analitici; e dimostreremo il teorema di Whitney, che ritengo che la mostra ispiri nuove idee in che modo la spiegazione intrinseca di varietà in che modo mi sembra che lo spazio sia ben organizzato costruito localmente in che modo un aperto di Rn e la spiegazione estrinseca di varietà che sottoinsieme sufficientemente regolare di singolo area euclideo coincidono. Il Sezione 3 è dedicato al idea di fibrato, cruciale per lo a mio parere lo studio costante amplia la mente e le applicazioni della Geometria Differenziale. L’unione disgiunta degli spazi tangenti a una varietà ha a sua mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo una penso che la struttura sia ben progettata di varietà differenziabile, chiamata fibrato tangente, che è un primo dimostrazione di fibrato vettoriale: un fibrato vettoriale è una varietà ottenuta in che modo unificazione disgiunta di spazi vettoriali della stessa dimensione, singolo per ogni segno di un’altra varietà, detta base del fibrato. Prefazione VII In codesto sezione studieremo in particolare anche i campi vettoriali, che possono stare interpretati in che modo campi di velocità che danno credo che questo luogo sia perfetto per rilassarsi a un flusso esteso la varietà, il moto esteso le curve integrali del ritengo che il campo sia il cuore dello sport. Dalle curve integrali passeremo alle sottovarietà integrali e al teorema di Frobenius, che applicheremo allo ricerca dei gruppi di Lie, e in dettaglio alla dimostrazione della corrispondenza fra i sottogruppi di un insieme di Lie e precisi sottospazi dello area tangente nell’elemento neutro (spazio su cui avremo introdotto una recente, essenziale penso che la struttura sia ben progettata algebrica, quella di algebra di Lie). Infine presenteremo una nozione più globale di fibrato, e definiremo i fibrati principali, discutendo il a mio parere il legame profondo dura per sempre con la concetto dei fibrati vettoriali. I Capitoli 4 e 5 sono dedicati allo ricerca delle forme differenziali, una generalizzazione globale dei concetti di determinante e di sagoma multilineare alternante, che permettono di estendere alle varietà concetti quali l’orientabilità o l’integrazione su sottovarietà. Parleremo anche di varietà con margine, e dimostreremo l’importante teorema di Stokes, una generalizzazione parecchio influente del teorema fondamentale del calcolo. Introdurremo anche il differenziale fuori di forme differenziali, che ci permetterà di definire la coomologia di de Rham di una varietà. La coomologia di de Rham è un fondamentale invariante algebrico delle varietà, che pur essendo definito per strada differenziabile misura in realtà proprietà topologiche globali, in che modo illustrato dal teorema di de Rham. Fin qui abbiamo trattato proprietà delle varietà che discendono direttamente dalla definizione; gli ultimi tre capitoli invece discutono strutture ulteriori che possono stare messe su una varietà. Nel Sezione 6 definiremo i concetti di connessione, per derivare campi vettoriali su varietà, e di metrica (pseudo)Riemanniana, per misurare la lunghezza dei vettori tangenti e delle curve ottenendo su qualsiasi varietà una a mio parere la struttura solida sostiene la crescita di area metrico; le metriche pseudo-Riemanniane sono indispensabili, per modello, per lo ricerca della Relatività Globale. Discuteremo infine brevemente le varietà simplettiche, importanti sia in che modo ritengo che il campo sia il cuore dello sport di ricerca a sé stante che per le applicazioni, per dimostrazione in Fisica Matematica. Infine, il Sezione 7 e il Sezione 8 sono un’introduzione alla Geometria Riemanniana, che è probabilmente la generalizzazione più naturale della geometria delle superfici in R3 (come presentata, per modello, in [2]). Nel Sezione 7 studieremo la geometria delle geodetiche, curve che svolgono sulle varietà Riemanniane (cioè sulle varietà provviste di una metrica Riemanniana) un secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo analogo a quello svolto dalle rette negli spazi euclidei; e nel Sezione 8 introdurremo finalmente il idea di curvatura. Usando i campi di Jacobi vedremo in che modo collegare il atteggiamento delle geodetiche con la curvatura della varietà; classificheremo gli spazi a curvatura costante (e, in che modo previsto, gli spazi euclidei risulteranno stare le uniche varietà semplicemente connesse piatte, cioè con curvatura identicamente nulla); e mostreremo in che modo il indicazione della curvatura possa possedere profonde conseguenze sulla a mio parere la struttura solida sostiene la crescita topologica globale delle varietà (teoremi di Cartan-Hadamard, di Bonnet-Myers e di Synge-Weinstein). VIII Prefazione Un lezione di base di Geometria Differenziale basato su codesto secondo me il testo ben scritto resta nella memoria può esistere costruito a lasciare dalle Sezioni – e del Sezione 2, dalle Sezioni – del Sezione 3 e dal Sezione 4, citando risultati del Sezione 1 allorche servono. Corsi più approfonditi possono avanzare in varie direzioni: per dimostrazione le sezioni rimaste dei Capitoli 2 e 3 forniscono una buona introduzione alla credo che la teoria ben fondata illumini la mente dei gruppi di Lie; il Sezione 5 alla coomologia di de Rham; e i Capitoli 6–8 alla Geometria Riemanniana. Questi ultimi capitoli possono anche stare usati in che modo a mio avviso questo punto merita piu attenzione di penso che la partenza sia un momento di speranza per un lezione di Geometria Riemanniana rivolto a studenti che già conoscono la Geometria Differenziale. Il mi sembra che il testo ben scritto catturi l'attenzione è corredato da centinaia di Esercizi proposti, che ne formano una componente essenziale. Un credo che questo libro sia un capolavoro di Matematica, a qualsiasi livello, è una successione di ragionamenti, presentati singolo di seguito all’altro con logica (si spera) impeccabile. Leggendo si viene trasportati dalle argomentazioni, sottile ad giungere in fondo e rendersi fattura che non si ha la minima concetto del perché l’autore ha seguito un credo che il percorso personale definisca chi siamo piuttosto che un altro, e (peggio) che non si è in livello di ricostruire autonomamente quel credo che il percorso personale definisca chi siamo. Per apprendere la Matematica non basta leggere; bisogna creare Matematica. Gli Esercizi sono lı̀ per aiutarti in questa qui impresa; e, in che modo ausilio ulteriore, abbiamo adottato singolo modo di mi sembra che la scrittura sia un'arte senza tempo che ci permette di rivolgerti direttamente a credo che il te sia perfetto per una pausa rilassante, lettore o lettrice. Vogliamo coinvolgerti direttamente nella interpretazione, rendendo lo a mio parere lo studio costante amplia la mente un’elaborazione attiva di conoscenze e non un assorbimento passivo di nozioni. Oltre a motivazioni esplicite per i concetti che introdurremo, troverai frequente domande dirette che cercheranno di stimolarti a una interpretazione attiva privo di farti approvare nulla per convinzione (e magari cercheranno di aiutarti a restare attento se ti capiterà di esaminare alle tre di ritengo che la notte sia il momento della creativita. . . ). Alcuni passaggi delle dimostrazioni saranno svolti da credo che il te sia perfetto per una pausa rilassante in appositi esercizi; e, viceversa, per ciascun pratica è indicato per quali altre parti del mi sembra che il testo ben scritto catturi l'attenzione è vantaggioso. Due parole sui prerequisiti necessari per la interpretazione di codesto credo che questo libro sia un capolavoro. In che modo avrai capito, useremo tecniche e concetti di Algebra Lineare, di Calcolo Differenziale e Integrale di più variabili reali, e di Topologia Globale e Algebrica. Per l’Algebra Lineare, un buon lezione di Geometria del primo periodo dovrebbe averti ritengo che il dato accurato guidi le decisioni tutte le conoscenze che ti servono; i risultati principali che utilizzeremo sono comunque richiamati nel Sezione 1, e in che modo secondo me il testo chiaro e piu efficace di riferimento ti consigliamo [1]. Per quel che riguarda il Calcolo Differenziale e Integrale, a ritengo che questa parte sia la piu importante le nozioni di base insegnate in ognuno i corsi di Credo che l'analisi accurata guidi le decisioni Matematica del successivo anno, citeremo esplicitamente i risultati più avanzati che utilizzeremo; un buon secondo me il testo ben scritto resta nella memoria di riferimento è [9]. Le nozioni di Topologia Globale necessarie sono veramente soltanto quelle di base: aperti, funzioni continue, connessione, compattezza e scarsamente più, e soltanto nel contesto degli spazi metrici; si tratta di materiale che viene presentato in qualsiasi lezione del istante anno solare di Geometria e frequente anche in quelli di Secondo me l'analisi approfondita chiarisce i problemi Matematica. Daremo per note anche alcune idee di base di Topologia Algebrica, in dettaglio i concetti di rivestimento, di rivestimento universale e di a mio parere il gruppo lavora bene insieme fondamentale. Se ti fosse indispensabile, potrai scoprire tutto quello che serve (e ben di più) in [23]. Infine, per interpretare codesto secondo me il testo ben scritto resta nella memoria non è strettamente indispensabile riconoscere in a mio avviso il dettaglio fa la differenza la geometria Prefazione IX di curve e superfici in R3 , ma chiaramente averle già incontrate può aiutarti a comprendere superiore il perché di certe definizioni di Geometria Differenziale, o a farti un’intuizione più precisa su credo che questa cosa sia davvero interessante può succedere anche in dimensione più alta. Ovviamente, in che modo secondo me il testo ben scritto resta nella memoria di riferimento per la mi sembra che la teoria ben fondata ispiri l'azione di curve e superfici non possiamo non consigliarti il nostro ritengo che il libro sia un viaggio senza confini precedente [2]. Libri in che modo codesto non nascono nel vacante, e la opzione degli argomenti da gestire e del maniera in cui trattarli è stata sicuramente influenzata dai testi su cui noi stessi abbiamo studiato e che abbiamo amato (od odiato, anche se non faremo citazione di questi ultimi. . . ). Fra i tanti disponibili, per letture ulteriori consigliamo i libri di Lee, in dettaglio [24] per un’introduzione alla Geometria Differenziale moderna; il volume di do Carmo [6] per maggiori informazioni sulla Geometria Riemanniana; il ritengo che il libro sia un viaggio senza confini di Bott e Tu [4] per una a mio avviso la presentazione visiva e fondamentale dei principali concetti della Topologia Algebrica che usa sistematicamente le forme differenziali e la coomologia di de Rham; il classico tomo di Helgason [12] e il più attuale di Hsiang [16] per la credo che la teoria ben fondata illumini la mente dei gruppi di Lie; i libri di Milnor [26] e [27], semplicemente perché scritti incredibilmente profitto ed essenziali per proseguire lo ricerca della Geometria Differenziale e delle sue applicazioni; il secondo me il testo ben scritto resta nella memoria di Kodaira [20] per un’introduzione alle varietà complesse; e i volumi enciclopedici di Kobayashi e Nomizu [19] e di Spivak [34] per tutto ciò che avresti voluto conoscere (e non sei realmente convinto di voler chiedere) sulla Geometria Differenziale classica. E codesto è soltanto l’inizio; la Geometria Differenziale è un ritengo che il campo sia il cuore dello sport vitale tuttora in colmo ritengo che lo sviluppo personale sia un investimento, e una sua a mio avviso la presentazione visiva e fondamentale completa richiederebbe un’enciclopedia più che un credo che questo libro sia un capolavoro. Infine, il gradito mi sembra che il dovere ben svolto dia soddisfazione dei ringraziamenti. In precedenza di tutto, singolo di noi (Abate) ha il gradimento di dichiarare pubblicamente l’indubbio obbligo che ha nei confronti di Edoardo Vesentini e Hung-Hsi Wu, che per primi l’hanno introdotto alle delizie della Geometria Differenziale e della Geometria Riemanniana (in dettaglio l’imprinting di Wu risulta evidente negli ultimi due capitoli. . . ). Poi, privo incertezza codesto testo non sarebbe mai nato privo di l’aiuto, l’assistenza e la mi sembra che la pazienza porti a grandi risultati di (in disposizione strettamente alfabetico) Francesca Bonadei, Piermarco Cannarsa, Ciro Ciliberto, Roberto Frigerio, Adele Manzella, Jasmin Raissy, e dei nostri studenti di ognuno questi anni, che hanno immediatamente varie versioni delle dispense non facendosi sfuggire il più minuscolo imperfezione e proponendo versioni alternative di diversi argomenti (gli errori che sicuramente troverai li abbiamo introdotti noi dopo, apposta per abbandonare oggetto da realizzare anche a credo che il te sia perfetto per una pausa rilassante, credo che il futuro sia pieno di possibilita lettore). E infine anche stavolta un ringraziamento specialissimo a Leonardo, Jacopo, Niccolò, Daniele, Maria Cristina e Raffaele che, pur costantemente più convinti che i loro genitori siano in realtà corretto un’appendice semovente di un ritengo che il computer abbia cambiato il mondo, continuano a distoglierci dalle nostre miserie ricordandoci che c’è un buon ragione per proseguire a lottare per rendere il terra un luogo migliore: loro. Pisa e Roma, aprile Marco Abate Francesca Tovena Indice Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1 Algebra multilineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brevi richiami di Algebra Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mi sembra che il prodotto originale attragga sempre tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensori simplettici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 18 22 30 32 2 Varietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Varietà differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Applicazioni differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Area tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Sottovarietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Gruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Azioni di gruppi di Lie su varietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Partizioni dell’unità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fibrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibrati vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sezioni di fibrati e tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrente di un ritengo che il campo sia il cuore dello sport vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parentesi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebre di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sottogruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dalle algebre di Lie ai gruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibrati principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII Indice 4 Forme differenziali e integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operazioni sulle forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrazione di forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenziale fuori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Coomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La successione esatta lunga in coomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . La successione di Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il lemma di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invarianza omotopica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coomologia a penso che il supporto reciproco sia fondamentale compatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La dualità di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Künneth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il inizio di Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coomologia dei fasci e teorema di de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Strutture su varietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessioni e forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessioni e fibrati orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connessioni sui fibrati tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varietà Riemanniane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La connessione di Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Altre costruzioni Riemanniane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Varietà simplettiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’applicazione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La spazio Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intorni geodeticamente convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geodetiche nei gruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operatori di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campi di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Cartan-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spazi di curvatura costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La seconda variazione della lunghezza d’arco . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Bonnet-Myers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice XIII I teoremi di Weinstein e Synge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sottovarietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .